一次方程式 問題 難問 9

一次方程式 問題 難問 9

「一次不定方程式」の解き方がよくわからない?本記事では、一次不定方程式の特殊解の見つけ方から、ユークリッドの互除法を用いる問題、さらに一次不定方程式の応用問題3選まで、わかりやすく解説します。「一次不定方程式マスター」になりたい方必見です。 難問5(関係を表す式・複雑) ※中2範囲の連立方程式の知識が必要な問題でした. ちなみに不定方程式とは、$ax+by=c$( $a$,$b$,$c$ は自然数)のように、解が有限個に定まらない方程式のことを指します。, よって本記事では、一次不定方程式の解き方のポイントから、一次不定方程式の応用問題 $3$ 選まで, 具体的に問題を解いた方がわかりやすいかと思うので、さっそく一次不定方程式を解く練習をしていきましょう。, (2)の数字がやけに大きくて怖いですが、とりあえず(1)の解はすぐに見つかりますね?, ここで、$2$ と $3$ は互いに素であるため、$y+1$ が $2$ の倍数となる必要がある。, これを①に代入すると、$3×2k=2(2-x)$ となり、$x$ について解くと、$x=-3k+2$ となる。, したがって、求める整数解は$$x=-3k+2 \ , \ y=2k-1 \ ( \ k \ は整数)$$, $$\left\{\begin{array}{ll}1073x&+527y&=1 …②\\1073・111&+527・(-226)&=1 …③\end{array}\right.$$, よって、$②-③$ をして整理すると、$$527(y+226)=1073(111-x) …④$$, ここで、$1073$ と $527$ は互いに素(※2)であるため、$y+226=1073k$ と表せる。, したがって、求める一般解は$$x=-527k+111,y=1073k-226(kは整数)$$, (1) $GCD( \ 3 \ , \ 5 \ )=1$ より、$3x+5y=1$ は整数解を持つ。, (2) $GCD( \ 27 \ , \ 54 \ )=27$ より、$27x-54y=32$ は整数解を持たない。, (3) $GCD( \ 28 \ , \ 21 \ )=7$ より、$28x+21y=7$ は整数解を持つ。, (4) $GCD( \ 7 \ , \ 13 \ )=1$ より、$-7x+13y=1$ は整数解を持つ。, よって、両辺を $1000$ 倍した方程式 $-7・1000x+13・1000y=1000$ も整数解を持つ。, (2)は、最大公約数が $27$ であり、それに対し右辺の値が $32$、つまり $27$ の倍数ではありませんね。, (4)は、最大公約数が $1$ である、つまり互いに素であるので、どんな整数 $c$ であっても, ここからわかることは、$a$ と $b$ が互いに素であれば、どんな不定方程式 $ax+by=c$ であっても整数解を必ず持つ、ということです。, $1073x+527y=1$ の特殊解が $x=111$,$y=-226$ であることを利用して解いてください。, $1073・111+527・(-226)=1$ より、両辺を $3$ 倍すると、$1073・333+527・(-678)=3$ となる。, よって、$$\left\{\begin{array}{ll}1073x&+527y&=3 …①\\1073・333&+527・(-678)&=3 …②\end{array}\right.$$, $①-②$ をして整理すると、$$527(y+678)=1073(333-x)$$, さて、$x$,$y$ がともに自然数でなければいけないので、解はかなり絞られそうですね。, $2x+3y=1$ の特殊解が $x=2$,$y=-1$ であったことから、$2x+3y=20$ の特殊解は $x=40$,$y=-20$ とすぐに求まる。, $$x=-3k+40 \ , \ y=2k-20 \ ( \ k \ は整数)$$, つまり、$$\left\{\begin{array}{ll}-3k+40&≧1 …①\\2k-20&≧1 …②\end{array}\right.$$, ①と②の共通範囲を求めて、$\displaystyle \frac{21}{2}≦k≦\frac{41}{3}$, これを満たす $k$ は、$k=11 \ , \ 12 \ , \ 13$ の $3$ つ。, $$( \ x \ , \ y \ )=( \ 7 \ , \ 2 \ ) \ , \ ( \ 4 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6\ )$$, つまり、$$\left\{\begin{array}{ll}11x+2=3y+1 …①\\11x+2=5z+3 …②\end{array}\right.$$, ①…$11x-3y=-1$ の特殊解は、$x=1$,$y=4$ であるから、$11(x-1)=3(y-4)$ となる。, ②’…$33k-5z=1$ の特殊解が、$k=2$,$z=13$ より、$33k-5z=-10$ の特殊解は $k=-20$,$z=-130$ であるから、$33(k+20)=5(z+130)$ となる。, 今回、$3$ 桁の $N$ の中で最大のものを求めるので、$$165l-647<1000$$, これを解くと、$\displaystyle l<\frac{1647}{165}≒9.98…$ なので、$l=9$ のとき $1000$ を超えない最大の数となる。, “一次”不定方程式と言うぐらいですから、もちろん”二次”不定方程式や”分数”不定方程式など、いろんな不定方程式があります。, ウチダショウマ。数学が大好きな25歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験1発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか1年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, 特殊解とは、方程式を満たす解の $1$ つのことです。今回の場合だと、$ax_1+by_1=c$ となる整数の組 $( \ x_1 \ , \ y_1 \ )$ のことですね。, \begin{align}1&=5-4×1\\&=5-(14-5×2)×1\\&=…\\&=1073×111-527×226\end{align}, ここまでしっかり理解すると、一次不定方程式を解くこと自体が楽しくなってくるのではないでしょうか^^, 問題. あとはこの(9)の式を答えを出せばいいだけです! 真のラスト \begin{eqnarray} b^2 + b – 1 = 0 \tag{9} \end{eqnarray} さあどうやって解けばいいんだ! 因数分解は無理っぽい! ならば!! 二次方程式の解! 合同式(mod)を応用して、京大の入試問題を解こう!本記事では、一次不定方程式を互除法を使わずに合同式(mod)で解く方法や、京都大学の超良問入試問題を解くコツについて、わかりやすく解説します。「合同式(mod)マスターになりたい」方は必見です。 一次方程式の利用(文章問題)について、さまざまなパターンの解き方をまとめておきます。, 方程式の利用(文章問題)を解くためには文章をよく読み、数量の関係を理解することが大切です。, 同じジュース3本と、1個200円のケーキを2個買って、代金760円を払った。ジュース1本の値段を求めなさい。, $$\begin{eqnarray} 3x+400&=&760\\[5pt]3x&=&760-400\\[5pt]3x&=&360\\[5pt]x&=&120\end{eqnarray}$$, 2000円で、ケーキ3個と200円のジュース3本買うと、おつりが200円だった。ケーキ1個の値段を求めなさい。, ケーキ1個の値段を\(x\)円とすると、買い物の代金は\(3x+600\)円と表すことができます。, $$\begin{eqnarray} 2000-(3x+600)&=&200\\[5pt]2000-3x-600&=&200\\[5pt]-3x&=&200-1400\\[5pt]-3x&=&-1200\\[5pt]x&=&400\end{eqnarray}$$, $$\begin{eqnarray} 2x&=&x+3\\[5pt]2x-x&=&3\\[5pt]x&=&3\end{eqnarray}$$, ある数を\(x\)とすると、\(3(x-4)=x-2\) という方程式がつくれる。, $$\begin{eqnarray} 3(x-4)&=&x-2\\[5pt]3x-12&=&x-2\\[5pt]3x-x&=&-2+12\\[5pt]2x&=&10\\[5pt]x&=&5\end{eqnarray}$$, 50円切手と80円切手を合わせて20枚買ったら、代金の合計は1240円だった。50円切手と80円切手をそれぞれ何枚ずつ買ったか求めなさい。, 合わせて〇個という利用問題では、2つの数量のうち片方を\(x\)とすると、もう一方の数量も\(x\)を使って表すことができます。, 50円切手の枚数を\(x\)枚とすると、80円切手の枚数は合計から50円切手の枚数を引くことで表せるので、\((20-x)\)枚と表せます。, $$\begin{eqnarray} 50x+80(20-x)&=&1240\\[5pt]50x+1600-80x&=&1240\\[5pt]-30x&=&1240-1600\\[5pt]-30x&=&-360\\[5pt]x&=&12\end{eqnarray}$$, よって、50円切手の枚数は12枚だと分かったので、80円切手の枚数は、\(20-12=8\)枚となります。, 鉛筆を何人かの子どもに分けるのに、1人に3本ずつ分けると6本余り、4本ずつ分けると12本足りない。このとき、鉛筆は全部で何本あるか求めなさい。, 今回の問題では、鉛筆の本数を求めろとなっているのですが、鉛筆を\(x\)本とすると難しくなってしまいます…, $$\begin{eqnarray} 3x+6&=&4x-12\\[5pt]3x-4x&=&-12-6\\[5pt]-x&=&-18\\[5pt]x&=&18\end{eqnarray}$$, \(x=18\)を先ほど表した鉛筆の本数である\(3x+6\) または\(4x-12\) に代入します。, 長いす1脚に生徒が5人ずつ座ると10人座れず、6人ずつ座ると2人だけ座った長いすが1脚できた。生徒の人数を求めなさい。, ここの文章から、「4人分の空きがある長いすが1脚ある」というのを想像することがポイントですね。, $$\begin{eqnarray} 5x+10&=&6x-4\\[5pt]5x-6x&=&-4-10\\[5pt]-x&=&-14\\[5pt]x&=&14\end{eqnarray}$$, 生徒の人数は、\(x=14\)を\(5x+10\) または\(6x-4\) に代入すると求めれます。, Aくんは10歳、Aくんのお父さんは40歳です。お父さんの年齢がAくんの年齢の3倍になるのは何年後か。また、そのときのAくん、お父さんの年齢はいくつになるか求めなさい。, $$\begin{eqnarray}3(10+x)&=&40+x\\[5pt]30+3x&=&40+x\\[5pt]3x-x&=&40-30\\[5pt]2x&=&10\\[5pt]x&=&5 \end{eqnarray}$$, Aくんはこれまで数学のテストを4回受けて、平均点は65点でした。次に受けたテストを加え、5回分の平均点を求めると70点になった。このとき、Aくんが5回目に受けたテストの点数を求めなさい。, 5回目までに受けたテストの合計点は、\(x\)点を加えて、\((260+x)\)点と表すことができます。, さらに、5回分の平均点が70点であることから、5回分の合計点は\(70\times 5=350点\)と表すこともできます。, $$\begin{eqnarray}260+x&=&350\\[5pt]x&=&350-260\\[5pt]x&=&90 \end{eqnarray}$$, $$\begin{eqnarray} 0.15x&=&3\\[5pt]0.15x\times 100&=&3\times 100\\[5pt]15x&=&300\\[5pt]x&=&20\end{eqnarray}$$, $$\begin{eqnarray} 0.7x&=&840\\[5pt]0.7x\times 10&=&840\times 10\\[5pt]7x&=&8400\\[5pt]x&=&1200\end{eqnarray}$$, \(x\)の\(5\%\)増しは63人である。このとき、\(x\)の値を求めなさい。, $$\begin{eqnarray} 1.05x&=&63\\[5pt]1.05x\times 100&=&63 \times 100\\[5pt]105x&=&6300\\[5pt]x&=&60\end{eqnarray}$$, \(5\%\)の食塩水が300gあります。この食塩水に水を加えて\(4\%\)の食塩水をつくるとき、加える水は何gにすればよいか求めなさい。, それぞれが等しくなるはずなので、\(15=12+0.04x\) という方程式が作れます。, $$\begin{eqnarray}15&=&12+0.04x\\[5pt]-0.04x&=&12-15\\[5pt]-0.04x&=&-3\\[5pt]4x&=&300\\[5pt]x&=&75 \end{eqnarray}$$, 家から学校までの間を自転車で往復するのに、行きは時速10km、帰りは時速15㎞で走ったところ、往復で2時間かかった。このとき、家から学校までの道のりを求めなさい。, $$\begin{eqnarray}\frac{x}{10}+\frac{x}{15}&=&2\\[5pt]\frac{x}{10}\times 30+\frac{x}{15}\times 30&=&2\times 30\\[5pt]3x+2x&=&60\\[5pt]5x&=&60\\[5pt]x&=&12 \end{eqnarray}$$, 兄が家を出発してから12分後に弟が家を出発し、兄を追いかけた。兄の歩く速さは分速60m、弟の走る速さは分速120mのとき、弟は家を出発してから何分後に兄に追いつくか求めなさい。, 弟が家を出発してから兄に追いつくまでの時間を\(x\)分とすると、兄は弟より12分多く進んでるので時間は、\((x+12)\)分と表せます。, $$\begin{eqnarray}60(x+12)&=&120x\\[5pt]60x+720&=&120x\\[5pt]-60x&=&-720\\[5pt]x&=&12 \end{eqnarray}$$, いろいろなパターンの文章問題がありましたが、1つ1つは特に難しいものではありませんでしたね。, 速さ、割合など初見では難しく感じる問題であっても注目すべき点を知っている人にとっては楽勝の問題です。. $11$ で割ると $2$ 余り、$3$ で割ると $1$ 余り、$5$ で割ると $3$ 余る $3$ 桁の自然数のうち、最大のものを求めなさい。, \begin{align}& \quad 11(3k+1)+2=5z+3\\&⇔33k-5z=-10 …②’\end{align}, \begin{align}N&=11x+2\\&=11(3k+1)+2\\&=33k+13\\&=33(5l-20)+13\\&=165l-647\end{align}, $x=3k+1$ と表せたのは、$x$ と $y$ の不定方程式によるもので、$z$ は関係していませんでした。よって、$z$ との関係を明らかにし、$k$ に条件を付けなければいけません。, 「不定方程式」って難しいですよね。本記事では、不定方程式の解き方4パターンを、不定方程式の問題9選(ユークリッドの互除法を用いる一次不定方程式・二次不定方程式など)を通して、わかりやすく解説します。「不定方程式マスター」になりたい方は必見です。, 「整数の性質」の総まとめ記事です。本記事では、整数の性質の解説記事全25個をまとめています。「整数の性質をしっかりマスターしたい」「整数の性質を自分のものにしたい」という方は必見です。, ※1 … どんな計算をすれば $x=111$,$y=-226$ なんて見つかるの?. 一次方程式とは、ざっくりと説明するとこんな感じです。 だけど… ん?一次ってなんだ?? ってなっちゃうよね。 ということで、一次方程式とは?ということを簡単に理解できるよう解説していきます。 この記事を通し 不定方程式 $2x+3y=20$ の自然数解( $1$ 以上の整数解)を求めなさい。, 問題. 一次方程式の難問をお願いします。 一次方程式(計算)の難問をお願いします。 文章問題ではなく純粋な計算です。 複雑でミスしやすく解きにくい問題を出題して下さい。 回答も合わせてお願いいたします。 方程式の利用(文章問題)を解くためには文章をよく読み、数量の関係を理解することが大切です。 自分なりに絵や図をかくことで読解していきましょう。 基本的には求めたいものをとすることで、方程式を作っていきます。 中には例外もあるので、それは以下の解説にて確認してください。 方程式の利用問題を解けるようにするためには、たくさんの経験を積むことが大事です。 いろんな問題を解くことで、式のつくり方を頭に … 連立方程式がわかる人のみ挑戦してください。 超巨大プリンを作るために、容積が1800lの特殊容器を用意した。 ´ç¿’問題一覧, << L21 - 一次方程式の活用(1) の問題に戻る, L22 - 一次方程式の活用(2) の解答表示 >>, Lesson15 一次方程式の計算(1), Lesson16 一次方程式の計算(2), Lesson17 一次方程式の計算(3), Lesson18 一次方程式の計算(4), Lesson19 一次方程式の計算(5), Lesson21 一次方程式の活用(1).

13 一次方程式 1 * 13 変 域 2: 13 直角三角形 * 13 数 列 2 * 14 一次方程式 2 * 14 変化の割合: 14 台 形 * 14 さいころ 1* 15 等式の変形 * 15 放物線と直線 1: 15 平行四辺形 * 15 さいころ 2* 16 連立方程式 1: 16 放物線と直線 2: 16 長 方 形 * 中学1年数学の練習問題。一次方程式の活用(2)速さ、食塩水の濃度の問題。数学の基礎問題を中心に掲載。普段の家庭学習や定期テスト対策・受験勉強に!

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